Límites que involucran funciones trigonométricas: definición, propiedades y problemas

Los límites de una función trigonométrica se refieren al comportamiento de las funciones trigonométricas cuando las variables independientes (generalmente x) se acercan a un cierto valor o al infinito. Es importante comprender estas limitaciones en el cálculo y el análisis matemático.

La trigonometría surgió de la necesidad de calcular ángulos y distancias en campos como la astronomía, la topografía, la localización de tiro de artillería y la cartografía. Los límites que involucran funciones trigonométricas son conceptos esenciales en cálculo.

Cuando se trata de funciones trigonométricas en el contexto de límites, es posible que se encuentre con situaciones en las que necesite encontrar el límite de la función trigonométrica cuando una variable independiente se aproxima a un valor específico. Los límites en funciones trigonométricas funcionan de manera similar a los límites en otras funciones.

Las funciones trigonométricas como seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente tienen propiedades de límites específicas que pueden ayudar a evaluar los límites que las involucran. En esta lección, aprenderemos sobre las propiedades de los límites en funciones trigonométricas y técnicas de evaluación y evaluaremos algunos problemas básicos.

Definición

En trigonometría , el concepto de límite es similar a su definición en cálculo más amplio. El límite de la función trigonométrica describe el comportamiento de la función cuando la entrada (generalmente ángulos) se acerca a un cierto valor. La notación del límite de una función trigonométrica normalmente se escribe como:

Lim _{x → af} (x) = L

Si “a” pertenece a la definición de función trigonométrica f(x), entonces calculamos su límite “a” por sustitución directa, ya que todo “a” es un número real;

Sea f(x) una función trigonométrica, donde f(x) = sin(x), entonces obtenemos que el límite de la función es,

Lim _{x → a} f(x) = Lim _{x → a} sin(x) = sin(a)

donde Lim se aproxima cuando x → a.

Propiedades de los límites trigonométricos

Hay algunas reglas iniciales de límites para resolver límites trigonométricos y algunas fórmulas para funciones trigonométricas básicas como valores finitos e infinitos.

1.1. Fórmulas para valores finitos.

1.2. Fórmulas para valores infinitos.

1.3. Reglas y regulaciones:

• El límite de la constante es constante.

Sea “c” una constante. Entonces lim _{x → a} c = c

• El límite de la función f(x) que tiene la constante de números reales “c” es

lim _{x → a} [cf(x)] = c [ lim _{x → a} f(x)]

= cf(a)

• El límite de la suma/diferencia de dos funciones es la suma/diferencia del límite de las funciones

lim _{x → a} [f(x) + g(x)] = lim _{x → a} f(x) + lim _{x → a} g(x)

= f(a) + g(a)

lim _{x → a} [f(x) – g(x)] = lim _{x → a} f(x) – lim _{x → a} g(x)

= f(a) – g(a)

• El límite del producto de dos funciones es

lim _{x → a} [f(x ).g (x)] = [ lim _{x → a} f(x)].[ lim _{x → a} [g(x)]

= f(a ).g (a)

• El límite del cociente es el cociente del límite, el límite proporcionado del denominador no es 0.

lim _{x → a} [f(x)/g(x)] = [ lim _{x → a} f(x)] /[ lim _{x → a} [g(x)]

= f(a)/g( a)               (donde, g(a) ≠ 0)

Diferentes tipos de Límites:

1.      Límite finito:

Se dice que el límite es finito si los valores de la función se acercan a un número finito específico cuando x se vuelve arbitrario y llega a c. Matemáticamente, esto se expresa como;

lím _{x → c} f(x) = L

donde L es la salida de la función f(x).

2.      Límite infinito:

Un límite infinito describe el comportamiento de una función cuando la entrada se acerca a un cierto valor y los valores de la función se vuelven muy grandes como infinito positivo o negativo. La notación para expresar el límite infinito es la siguiente:

lim_x→0 f(x) = ∞                              lim_x→0 f(x) = -∞

3.      Límites en el infinito:

Los límites en el infinito describen el comportamiento de una función cuando el valor de entrada x se vuelve arbitrariamente muy grande (infinito positivo) o muy pequeño (infinito negativo). Expresando los límites en el infinito de la siguiente manera:

lim_x→­∞ f(x) = L                               lim_x→-­∞ f(x) = L

Problemas resueltos:

• Evaluar Lim _{x →1} 16

Solución: De la regla (1) → lím _{x → a} c = c

lím _{x →1} 16 = 16

• Evaluar Lim _{x →2} 2 sin(x)

Solución: De la regla (2) → lim _{x → a} [cf(x)] = c [ lim _{x → a} f(x)]

lím _{x →2} 2 Sin (x)

= 2 Pecado (2)

= 2 (0,0349)

lím _{x →2} 2 Sin (x) = 0,0697

• Evaluar Lim _{x →0} tan(x)/x

Solución: Con solo aplicar límites, obtenemos

lím _{x → 0} tan(x)/x

= bronceado( 0)/0

= 0/0, entonces intentamos un enfoque diferente:

lím _{x → 0} tan(x)/x

= lím _{x → 0} pecado(x)/cos(x) / x

= lím _{x → 0} sen(x)/cos(x) * 1/x

= lím _{x → 0} sin(x)/x * 1/cos(x)

Del teorema (1.2) Lim _{x →0} Sin(x)/x = 1

= 1*1/ porque( 0)

= 1*1/1

lím _{x → 0} tan(x)/x = 1

• Evaluar Lim _{x →3} tan(7 π /x)

Solución: lim _{x →3} tan(7 π /x)

= tan(7 π /3)

= 0,128641

• Evaluar Lim _{h → 0} π sen(h)/2h

Solución: De la regla (2) → lim _{x → a} [cf(x)] = c [ lim _{x → a} f(x)]

lim _{h → 0} π sin(h)/2h = π/2 [lim _{h → 0} sin(h)/ h] [por el teorema 1.2]

= π/2*1

lím _{h → 0} π sen(h)/2h = π/2

• Evaluar Lim _{x → 0} x ² cos(10πx)

Solución: De la Regla (4) → lim _{x → a} [f(x ).g (x)] = [ lim _{x → a} f(x)].[ lim _{x → a} [g(x)]

lím _{x → 0} [x ² cos(10πx)] = [lím _{x → 0} x ² ]. [lím _{x → 0} cos(10πx)]

= (0) ² .( cos(0))

= (0)(1)

=0

Los problemas de evaluación de límites también se pueden resolver utilizando una calculadora de límites.

Ultimas palabras:

A partir de esta lección, conocerá las limitaciones de las funciones trigonométricas. Hemos enseñado propiedades básicas, fórmulas y tipos de límites que pueden ayudarte a calcular funciones trigonométricas que involucran límites.

Hemos analizado las seis funciones trigonométricas en límites que corresponden a valores finitos e infinitos. A continuación, hemos resuelto ejemplos que pueden ayudarte a practicar en casa o en el trabajo escolar.